著者
cixhamin
文書のライセンス
そもそも論理とは何か
論理的思考とは、前提と結論の関係を明確にし、筋道立てて考えることです。特にビジネスの世界では、原因と結果の関係をたどり、その妥当性を検討することが重要になります。詳細は専門書などで学んでください。しっかり学べば一生物の知恵になります。
数理論理学～論理を学ぶ～
「論理的に考えろ」と言われても「論理」って何？ってなります。こういった論理構築の基礎理論は数理論理学という学問にあります。この数理論理学というのは数学で用いる論理構築の技法や理論を学ぶ学問です。以下に概略だけ紹介します。
基本演算
命題論理では、AND・OR・NOTの3つの演算を組み合わせることで、さまざまな論理式を表現できます。
AND(かつ)
| \[ p \] | \[q\] | \[ p \land q\] |
| 偽 | 偽 | 偽 |
| 偽 | 真 | 偽 |
| 真 | 偽 | 偽 |
| 真 | 真 | 真 |
日本語で書けば「両立」です。
OR(または)
| \[ p \] | \[q\] | \[ p \lor q\] |
| 偽 | 偽 | 偽 |
| 偽 | 真 | 真 |
| 真 | 偽 | 真 |
| 真 | 真 | 真 |
日本語で書けば「どちらか一方以上成り立つ」です。
NOT(ではない)
| \[ p \] | \[\lnot p\] |
| 偽 | 真 |
| 真 | 偽 |
日本語で書けば「反転」「否定」です。
ド・モルガンの法則
論理演算の基本法則にド・モルガンの法則があります。以下の式で示されます。証明は省略します。
- \( \lnot(p \land q) \Leftrightarrow \lnot p \lor \lnot q \)
- \( \lnot(p \lor q ) \Leftrightarrow \lnot p \land \lnot q \)
条件命題
pならばqみたいな命題を条件命題と呼びます。論理式で書けば
\[ p \rightarrow q \]
となります。論理を構成するときにこの命題は必ず使用します。論理式は以下の通りになります。特にpを十分条件あるいは仮定、qを必要条件あるいは結論と呼びます。真となる対象の集合を P,Q と定義して
\[ p \subseteq q\]
が成り立ちます。これは必要条件（結論）より十分条件（仮定）のほうが厳しいことを意味します。
| \[ p \] | \[q\] | \[ p \rightarrow q\] |
| 偽 | 偽 | 真 |
| 偽 | 真 | 真 |
| 真 | 偽 | 偽 |
| 真 | 真 | 真 |
上記の表を見ていただければわかるのですが、唯一偽になる条件がpであり、かつqではない条件です。論理式で書けば
\[ p \land \lnot q \]
です。これらの条件以外、すなわち
\[ \lnot ( p \land \lnot q) \Leftrightarrow \lnot p \lor q \]
が条件命題の論理式となります。すなわち
\[ p \rightarrow q \Leftrightarrow \lnot p \lor q\]
が成り立ちます。より平たく言えば、前提となる物事（十分条件：発展、より厳しい）が成り立って、結論となる物事（必要条件：基礎、緩い）が成り立たないということはないという主張ですね。十分条件は必要条件よりも対象を限定する条件です。
逆・裏・対偶
以下の4つの命題について
- \( p \rightarrow q \cdots (1)\)
- \( q \rightarrow p \cdots (2) \)
- \( \lnot p \rightarrow \lnot q \cdots (3) \)
- \( \lnot q \rightarrow \lnot p \cdots (4) \)
上記命題の内(1)と(2)は逆、(1)と(3)は裏、(1)と(4)は対偶と呼びます。逆・裏の真偽は元の命題とは必ずしも一致するわけではありませんが、対偶の真偽は元の命題の真偽と必ず一致します。
背理法
通常の論証では
\[ p \rightarrow q\]
を論証します。これはpという前提があれば、必然的にqが成り立つよね。ということを主張します。ただしこの方法では論証が難しい場合（少なくとも一つ以上を示す等）があります。そこでよく利用されるのが背理法です。背理法とは
\[ p \land \lnot q \Rightarrow \bot \]
を示します。つまり、必要条件（結論）の否定と十分条件（仮定）は絶対に両立しないこと（論理的破綻）を示すことで、pならばqが真であることを示します。
同値
\[ (p \rightarrow q) \land (q \rightarrow p) \]
を満たすものを同値といい
\[ p = q\]
と書きます。つまり、pとqは同じ意味を示す命題であるということです。真理値表は以下の通りです。
| \[ p \] | \[q\] | \[ p = q\] |
| 偽 | 偽 | 真 |
| 偽 | 真 | 偽 |
| 真 | 偽 | 偽 |
| 真 | 真 | 真 |
すなわち、pとqの真理値が一致している場合は真、異なる場合は偽です。
述語論理
これまでは命題そのものを扱ってきました。述語論理では、対象の性質を表す述語と、「すべての」「少なくとも一つ存在する」という量化を扱います。それが述語論理です。ここでは有限集合に限って解説します。述語論理には「すべての」という全称命題、「少なくとも一つ以上」という存在命題があります。有限集合\[X = \{x_1,x_2,\cdots,x_n\}\]について
- 全称量化：\[ \forall x\in X,\ P(x) \Leftrightarrow P(x_1)\land P(x_2)\land\cdots\land P(x_n) \]
- 存在量化：\[\exists x\in X,\ P(x) \Leftrightarrow P(x_1)\lor P(x_2)\lor\cdots\lor P(x_n) \]
全称命題は「すべての」なので、一つでも成り立たない（偽）があれば、「すべての」とは言えません。逆に存在命題は一つでも成り立つ（真）があれば、成り立つのです。
論理勇気
ここでいう論理勇気とは、未知の問題に直面しても、論理的に考えることで解決の糸口を見つけようとする勇気のことです。論理勇気を鍛えるのに数学はとても有効です。
数学といえば世間では「公式の暗記」のイメージが強く、役立たず扱いされ、忌み嫌われていますが、本当の数学の学び方を学べば「公式は暗記ではなく、筋道立てて導くもの」なんですよね。数学という学問の正しい向き合い方は、与えられた問題について、自分で解法を作ってみる練習をすることです。特に公式や定理の証明を自分でやってみることは論理的思考のよい訓練になるのです。そして次第に論理勇気も身に付いていきます。
そして数学で培った論理的思考力と論理勇気は、数学の外側に出て、未知の現実の問題に遭遇しても、論理勇気を持って、論理的思考で扱えるようになるのです。実際の現実世界の未知の問題を攻略した体験を積むことで、物事に対する態度が次第に戦略的になってくるのです。この戦略性は障害者の自立という未知の要素が多い問題を考えるに当たってとても有効であり重要なのです。
まとめ
- 論理構築の基礎理論は数理論理学という学問にある。
- 正しい方法で数学を勉強すれば、論理的思考と論理勇気を身につけることができる。
- 論理的思考と論理勇気は数学を超え、実際の現実の問題を解くことに応用できる。